解题报告
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F.循环移位
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题目大意：首先我们定义以下概念
现在给你n个整数，你必须分别做一次$L(x),R(y),x \ne y$，问最大的异或和是多少
解：
我们令$res=a_1 \land a_2 \land… \land a_n$，假设我选取了$i,j分别做L(i),R(j)$那么我的答案就是$res \land x_i \land L(i) \land x_j\land R(j)$，我们再令$ls(i)=x_i\land L(i),rs(j)=x_j\land R(j)$，则我的答案又可以写做$res \land ls(i) \land rs(j)$
那么此时我们可以考虑把$rs(i)$全部存放在trie中，枚举$res\land ls(i)$的值，在trie中找最大的异或值
特别需要注意的是，由于$i \ne j$所以在找最大异或值的时候需要先把$ls(i)$从trie中删除
代码如下，特别注意其中的remove操作。
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| struct Node
{
bool isEnd;
int cnt;
vector<Node *> children;
Node() : isEnd(false), cnt(0)
{
children.resize(2);
children[0] = children[1] = nullptr;
}
};
class Trie
{
public:
Node* root;
Trie() {
root = new Node();
}
void insert(int x)
{
Node *u = root;
u->cnt += 1;
for (int i = 30; i >= 0; i--)
{
int tmp = (x >> i) & 1;
if (u->children[tmp] == nullptr)
u->children[tmp] = new Node();
u = u->children[tmp];
u->cnt += 1;
}
u->isEnd = true;
}
void remove(int x)
{
Node *u = root;
for (int i = 30; i >= 0; i--)
{
int tmp = (x >> i) & 1;
u->cnt -= 1;
u = u->children[tmp];
}
}
int query(int x)
{
Node *u = root;
int ans = 0;
for (int i = 30; i >= 0; i--)
{
int tmp = (x >> i) & 1;
if (u->children[tmp ^ 1] == nullptr || u->children[tmp ^ 1]->cnt == 0) {
u = u->children[tmp];
continue;
}
ans |= (1 << i);
u = u->children[tmp ^ 1];
}
return ans;
}
};
Trie tr;
int L(int x)
{
return ((x ^ (1 << __lg(x))) << 1) | 1;
}
int R(int x)
{
return ((x >> 1) | ((x & 1) << __lg(x)));
}
void solve()
{
int n = read(), xornums = 0;
vector<int> a(n + 1), l(n + 1), r(n + 1);
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
a[i] = read();
xornums ^= a[i];
l[i] = a[i] ^ L(a[i]);
r[i] = a[i] ^ R(a[i]);
tr.insert(r[i]);
}
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
int tmp = xornums ^ l[i];
tr.remove(r[i]);
ans = max(ans, tr.query(tmp));
tr.insert(r[i]);
}
printf("%d\n", ans);
}
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J.大炮运输
原题链接
解：一道很显然的dp，我们可以设$dp[i]$表示到达i号炮台的最小代价，显然，我们有如下转移方程$dp[i]=\min_{j=1}^{i-1}{(dp[j]+a_j(i-j)^3+b_j)}$，但是这个转移方程的时间复杂度是$O(n^2)$，所以我们尝试减少复杂度。
有什么情况跳着走永远比一步一步跳代价要大呢，假设我是一步一步跳的，有$cost1=\sum_j^{i-1}(a[i]+b[i])$。
如果我是跳着走的，有$cost2=a[j]\times (i-j)^3+b[j]$ 。
根据数据范围$a[i],b[i] \le 1e5$，有$cost1\le 2e5\times(i-j)$，$cost2 \ge (i-j)^3$，联立有$(i-j)^3 \ge 2e5\times(i - j)$，化简得,$i-j\ge\sqrt{2e5} = 500$，即转移的范围不会超过500。